《数学家:莱昂哈德•欧拉》手抄报资料

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数学家莱昂哈德•欧拉图片

一、数学家莱昂哈德•欧拉简介资料

莱昂哈德•欧拉小时候他就特别喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过,可小欧拉却读得津津有味,遇到不懂的地方,就用笔作个记号,事后再向别人请教。13岁就进巴塞尔大学读书,这在当时是个奇迹,曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学,也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰•伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748年)的精心指导,并逐渐与其建立了深厚的友谊。约翰•伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生:“我介绍高等分析时,他还是个孩子,而你将他带大成人。”两年后的夏天,欧拉获得巴塞尔大学的学士学位,次年,欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年,欧拉开始了他的数学生涯。欧拉的父亲鲍罗•欧拉(Paul Euler)也是一个数学家,原希望小欧拉学神学,同时教他一点数学。由于小欧拉的才能和异常勤奋的精神,又受到约翰•伯努利的赏识和特殊指导,当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文,获得巴黎科学院的奖金后,他的父亲就不再反对他攻读数学了。1725年约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利赴俄国,并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉,这样,在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1735年,欧拉解决了一个天文学的难题(计算彗星轨道),这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了。

二、数学家莱昂哈德•欧拉的故事内容

欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过,这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢,他是一个被学校除了名的小学生。

事情是因为星星而引起的。 

当时,小欧拉在一个教会学校里读书。有一次,他向老师提问,天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒,他不知道天上究竟有多少颗星,圣经上也没有回答过。其实,天上的星星数不清,是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂,回答欧拉说:“天有有多少颗星星,这无关紧要,只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很奇怪:“天那么大,那么高,地上没有扶梯,上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢?上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕,他为什么忘记了星星的数目呢?上帝会不会太粗心了呢?”

他向老师提出了心中的疑问,老师又一次被问住了,涨红了脸,不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气,这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题,使老师下不了台,更主要的是,老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目,言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中,这可是个严重的问题。

欧拉的年代,对上帝是绝对不能怀疑的,人们只能做思想的奴隶,绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”,老师就让他离开学校回家。但是,在小欧拉心中,上帝神圣的光环消失了。他想,上帝是个窝囊废,他怎么连天上的星星也记不住?他又想,上帝是个独裁者,连提出问题都成了罪。他又想,上帝也许是个别人编造出来的家伙,根本就不存在。 

回家后无事,他就帮助爸爸放羊,成了一个牧童。他一面放羊,一面读书。他读的书中,有不少数学书。 爸爸的羊群渐渐增多了,达到了100只。原来的羊圈有点小了,爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地,长40米,宽15米,他一算,面积正好是600平方米,平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候,他发现他的材料只够围100米的篱笆,不够用。若要围成长40米,宽15米的羊圈,其周长将是110米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难,若要按原计划建造,就要再添10米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面积就会小于6平方米。 

小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。

父亲不相信小欧拉会有办法,听了没有理他。小欧拉急了,大声说,只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头,心想:“世界上哪有这样便宜的事情?”但是,小欧拉却坚持说,他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。 

小欧拉见父亲同意了,站起身来,跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心,将原来的40米边长截短,缩短到25米。父亲着急了,说:“那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了,太小了。”小欧拉也不回答,跑到另一条边上,将原来15米的边长延长,又增加了10米,变成了25米。经这样一改,原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后,小欧拉很自信地对爸爸说:“现在,篱笆也够了,面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆,100米长的篱笆真的够了,不多不少,全部用光。面积也足够了,而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明,真会动脑筋,将来一定大有出息。

父亲感到,让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来,他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐,1720年,小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年,小欧拉13岁,是这所大学最年轻的大学生。

三、数学家莱昂哈德•欧拉的学术成就

欧拉公式

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来; 拓扑学中的欧拉多面体公式;初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式,比如分式公式等等

欧拉函数

欧拉函数,在数论,对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

欧拉定理

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中,欧拉定理(Euler Theorem,也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德•欧拉,该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中,顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理,指在完全竞争的条件下,假设长期中规模收益不变,则全部产品正好足够分配给各个要素。

欧拉角

用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量,由章动角θ、旋进角(即进动角)ψ和自转角j组成,为欧拉首先提出而得名。

欧拉方程

1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

在研究一些物理问题,如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时,常常碰到如下形式的方程:

(ax^2D^2+bxD+c)y=f(x),

其中a、b、c是常数,这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律:二阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2,一阶导数Dy的系数是一次函数bx,y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。

欧拉线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线,且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

莱昂哈德•欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

如右图,欧拉线(图中的红线)是指过三角形的垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和欧拉圆圆心(红点)的一条直线。

注:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆,称为欧拉圆。

欧拉圆

欧拉圆又称九点圆。

三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆。

九点圆是几何学史上的一个著名问题。最早提出九点圆的是英国的培亚敏•俾几(Benjamin Beven),问题发表在1804年的一本英国杂志上。第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列(1788-1867)也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工(1771-1859)与彭赛列首先发表的。一位高中教师费尔巴哈(1800-1834)也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质(如下列的性质3)故有人称九点圆为费尔巴哈圆。

九点圆具有许多有趣的性质,例如:

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;

2. 九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切(费尔巴哈定理);

4. 九点圆是一个垂心组(即一个三角形三个顶点和它的垂心,共四个点,每个点都是其它三点组成的三角形的垂心,共4个三角形)共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。

5. 九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线,且HG=2OG,OG=2VG,OH=2OV。

九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。

设d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘,并令c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。

那么重心坐标为:( (2c1+c2+c3)/4c,(2c2+c1+c3)/4c,(2c3+c1+c2)/4c )。

《欧拉全集》

据统计,欧拉一生平均每年发表八百页的学术论文,内容涵盖多个学术范畴。1911年,数学界系统地开始出版欧拉的著作,并定名为《欧拉全集》(Opera Omnia),全集计划出84卷,迄今已上架者已有80卷,剩余还剩下4卷正在筹备中。平均每卷厚达五百多页,重约四磅。预计《欧拉全集》全部出齐时约重三百磅。

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